:لاثم 1 - در هر مثلث نیمسازها همرسند پس مثلث همواره محیطی است و مرکز دایرهی قضیه قضیه 3- هر چندضلعی منتظم محیطی است. است.

Transcript

1 دایره دوم: فصل محیطی و محاطی دایرههای محیطی و محاطی چندضلعیهای سوم: بخش میخوانیم بخش این در آنچه محاطی دایرهی و محیطی چندضلعیهای مثلث محاطی دایرههای محیطی دایرهی و محاطی چندضلعیهای محیطی چهارضلعیهای داخلی محاطی دایرهی خارجی محاطی دایرههای محاطی دایرههای توسط اضالع روی شده جدا پارهخطهای طول محاسبهی محاطی چهارضلعیهای مثلث محیطی دایرهی مثلث محیطی دایرهی شعاع محاسبهی بخش در همچنین شدند. معرفی محاطی دایرههای و محیطی چندضلعیهای مماس خطهای بخش در )( هندس ه درس ی کتاب در هب ار آنها آزمونها در بحثها این اهمیت به توجه با ش دهاند. معرفی محیطی دایرههای و محاطی چندضلعیهای محاطی زاویهی میآموزیم. بخش این در منسجم شکلی محیطی چندضلعیهای یک بر آن اضالع هی هم گاه هر ت اس محیطی چندضلعی یک محیطی: چندضلع ی باشند. مماس دایره چندضلعی محاطی رهی دای ت اس مماس محیطی چندضلعی الع اض بر که دایرهای ه ب میگوییم. دایرهی مرکز چندضلعی این در بگیرید. نظر در روبهرو شکل مطابق را ABCDE محیطی پنجضلعی این زوایای نیمسازهای روی دایره این مرکز بنابراین اس ت. فاصله یک به اضالع همهی از محاطی پس: است عمود مماس خط بر تماس نقطهی در دایره شعاع میدانیم واقع در دارد. قرار چندضلعی OH OH.jnHj#nHo # Aˆ Á¾# Ä»Hp#pIvµÃº#Á»nO ریز نکتهی پس دارد. قرار نیز زاویهه ا بقیهی نیمس از روی O میگیریم نتیجه ترتیب همین ب ه و است: بیان قابل دایرهی مرکز همان نیمسازها همرسی محل باشند. همرس آن داخلی زوایای نیمسازهای اگر تنها و اگر است محیطی چندضلعی نیک :هتک چندضلعی محاطی

2 5 هریاد :مود لصف :لاثم - در هر مثلث نیمسازها همرسند پس مثلث همواره محیطی است و مرکز دایرهی محاطی آن نقطهی تالقی نیمسازها میباشد. - لوزی محیطی اس ت زیرا قطرهای آن همان نیمس از زاویههای آن هستند پس نیمساز زاویهها همرسند. - هر چندضلعی منتظم محیطی چهارضلعیهای محیطی برخالف مثلثها چهارضلعیها همواره محیطی نیس تند مثال مس تطیل با طول و عرض نابرابر محیطی نیس ت )چرا (. برای محیطی بودن چهارضلعیها میتوان شرط دیگری جز نکتهی کلی همرسی نیمسازها نیز بیان کرد که در قضیههای بعد با آن آشنا میشویم. قضیه مجموع دو ضلع مقابل هر چهارضلعی محیطی برابر است با مجموع دو ضلع مقابل دیگر. :تابثافرض میکنیم چهارضلعی ABCD محیطی باشد باید ثابت کنیم AD+. AB+ DC برای اثبات دایرهی محاطی این چهارضلعی را رسم BC میکنیم. میدانیم مماسهای رسم شده از یک نقطه بر دایره با هم مساویند. AM AF BM BN + ( AM+ BM) + ( CE+ DE) ( AF+ DF) + ( BN+ CN) CE CN AB+ DC AD+ BC DE DF اگر در یک چهارضلعی مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل دیگر مساوی باشد آنگاه آن چهارضلعی محیطی :تابثا فرض کنید در چهارضلعی ABCD داشته باشیم: AB+ CD BC+ AD () میخواهیم ثابت کنیم دایرهای وجود دارد که بر اضالع این چهارضلعی مماس است تا نتیجه بگیریم ABCD محیطی اس ت. اگر ABCD لوزی باش د )هر چهار ضلع برابر باش ند ) AB CD BC AD اثبات بدیهی چرا که در لوزی قطرها نیمس از زوایا هستند و چون قطرها همرس ند نقطهی برخورد آنها مرکز دایرهی محاطی میباش د. یعن ی در لوزی همواره میتوان دای رهای محاط کرد. پس لوزی محیطی حال حالتی را در نظر میگیریم که دو ضلع مجاور برابر نباشند. فرض میکنیم AB> BC باشد. از رابطهی )( میتوان نتیجه گرفت: CD< AD روی ضلع AB مطابق شکل BE را برابر BC جدا میکنیم به طور مشابه پارهخط DF را براب ر ضل ع DC روی ضلع AD جدا میکنیم تا مثلث متساویالس اقین DCF بهدست آید. با توجه به رابطهی )( میتوان نوشت: BC BE, CD DF AB+ CD BC+ AD AB BC AD CD مثلث AEF نیز متساویالساقین است. AF AB BE AD DF AE قضیه

3 5 و B A زوایای نیمسازهای DCF و BCE AEF متساویالس اقین مثلث سه در رسم نیمسازهای هستند متساویالس اقین مثلثها این چون میکنیم. رس م را D عبارتی به میکنند. نصف را آنها و عمودن د FC و CE EF قاعدههای بر ش ده مثلث عمودمنصفهای چون و هستند CEF مثلث عمودمنصفهای نیمسازها این میکنند. قطع را یکدیگر شکل( )مطابق O نقطهی در نیمسازها این همرسند نیمس از روی نقطه هر میگذرد. O از نیز C زاویهی نیمس از میکنیم ثابت حال نوشت: میتوان بنابراین برعکس. و است فاصله یک به زاویه اضالع از زاویه Aˆ pivµãº#á»n O OH OH Bˆ pivµãº#á»n O OH OH OH OH دارد. قرار C زاویهی نیمساز روی O Dˆ pivµãº#á»n O OH OH محیطی چهارضلعی این لذا همرسند O نقطهی در ABCD چهارضلعی زوایای نیمسازهای پس برابرند. آنها مقابل اضالع مجموع زیرا هستند محیطی همواره لوزی و نمربع :هجیت آورید. بهدست را چهارضلعی این محیط مماسند دایره یک بر ABCD چهارضلعی اضالع هم با مقابلش اضالع مجموع پس است محیطی ABCD :لحهارچهارضلعی مساویند. AB DC AD BC AD + + BC AB + DC 0 8 ABCD ˆÃd ( AB+ DC) + ( AD+ BC) د. میباش 9 و 07 7 ترتیب به آن متوالی ضلع ه س اندازهی و میگذرند نقطه یک از چهارضلعی یک داخلی از نیمس ه تستتستس سراسری( )کنکور است کدام چهارم ضلع اندازهی 6 )4 90 ) 88 ) 56 ) فاصلهی پس میگذرند نقطه یک از نیمساز سه چون فاصله یک به زاویه آن اضالع از زاویه یک نیمساز روی نقطه هر پمیدانیم :خسا اضالع بر که است دایرهای مرکز و دارد قرار نیز چهارم زاویهی نیمساز روی نقطه این بنابراین برابر اضالع تمام از نقطه این برابر دیگر ضلع دو مجموع با روبهرو ضلع دو مجموع آن در و است محیطی نظر مورد چهارضلعی پس میباشد مماس چهارضلعی بنابراین درست )( گزینهی بنابراین x x 56. r S کنید ثابت آنگاه باشد آن محاطی دایرهی شعاع r و آن محیط نصف P محیطی چهارضلعی یک مساحت S اگر P میکنیم وصل چهارضلعی رئوس به محاطی دایرهی مرکز :لحهاراز SABCD SAOB + SOBC + SOCD + SAOD S r AB+ r BC+ r DC+ r AD S r ( AB+ BC+ DC+ AD) S r ( P) S rp r S P شعاع r و آن مساحت S و محیطی ضلعی n یک محیط نصف P اگر یعنی میکند. صدق محیطی ضلعیهای n تمام برای فوق نمطلب :هتک r S آنگاه: باشد آن محاطی دایرهی P

4 54 لصف :مود هریاد نآ ساق یک طول باشد مربع واحد 45 ذوزنقه مساحت اگر محیط شعاع به دایرهای بر متساویالساقین ذوزنقهی تستتستیک سراسری( )کنکور است کدام 8/5 )4 8 ) 7/5 ) 7 ) :خسا AB+ DC AD+ BC محیطیاست بنابراین ( AD BC) پذوزنقهیمتساویالساقینABCD. h 6 پس میباشد ذوزنقه ارتفاع برابر محاطی دایرهی قطر شکل به توجه با طرفی از. S h( AB+ DC) 45 ( 6)( AB+ DC) AB+ DC 5 AD BC AB+ DC AD+ BC AD+ BC 5 AD 7/ 5 درست )( گزینهی بنابراین آنکه به توجه با ترتیب این به. P 5 پس 45 بگیرید نتیجه میتوانستید باال تست در r S رابطهی به توجه با P P میشد. کوتاهتر راهتان کمی است روبهرو ضلع دو مجموع برابر P محیطی چهارضلعی در قاعده دو بین هندسی واسطهی دایره قطر کنید ثابت باشد محیط R شعاع به دایرهای بر متساویالساقین ذوزنقهای اگر R شعاع به دایره بر ABCD متساویالساقین ذوزنقهی میکنیم فرض اول: راهحل قائمالزاویهی مثلث دو میگیریم نتیجه BH و AH ارتفاعهای رسم با باشد. محیط. DH CH پس هستند همنهشت قائمه ضلع یک و وتر حالت به BCH و ADH y x به بنا پ س. DH CH و HH x آنگاه DC y و AB x اگ ر ح ال محیطی چهارضلعی ABCD AB+ DC AD+ BC AD BC x y x + y AD AD + ADH: AH+ DH AD AH R ( y x) ( x+ y) 4R+ xy 4R 4 4 ذورنقه بودن محیطی فرض قاعده دو بین هندسی واسطهی دایره قطر بنابراین میدانیم میکنیم. وصل C و B نقاط به O یعنی محاطی دایرهی مرکز از دوم: راهحل عملکنیم: زیر صورت به میتوانیم پس هستند. C و B زاویههای نیمساز OC و OB B Bˆ AB DC ˆ Á¾Ã B C 800 B C 0 O 0 ˆ + ˆ ˆ BC C C + ˆ 90 ˆ 90 Jn¼ ÁpH¼ # ¼ i ˆ ˆ میباشد. R یعنی دایره شعاع برابر OH ارتفاع و است قائمالزاویه OBC مثلث بنابراین قائمالزاویه مثلث در طولی روابط بنابر BH AB OBC: OH BH CH R AB DC AB DC 4R CH DC قاعده دو بین هندسی واسطهی دایره قطر بنابراین باشید. داشته خاطر در نکته یک عنوان به را فوق مسألهی

5 55 مساحت شده محیط دایره بر ABCD اقین متساویالس ذوزنقهی مقابل کل ش تستتستدر است کدام ذوزنقه 4 ) ) 8 )4 6 ) قاعده دو بین هندسی واسطهی دایره قطر آنگاه باشد محیط R شعاع به دایرهای بر متساویالساقین ذوزنقهی پاگر :خسا 4R AB DC 4R 4 8 R 8 R نوشت: میتوان بنابراین. h R 4 پس ذوزنقه ارتفاع برابر دایره قطر طرفی از SABCD h( AB+ DC) ( 4 )( ) 4 درست )( گزینهی بنابراین مثلث محاطی دایرههای واقع در مماس آن اضالع بر مثلث داخل که دارد محاطی دایرهی یک حتما و است ضلعیمحیطی چند یک مثلث هر که دیدیم و ضلع یک بر کدام هر که کرد رسم میتوان دیگر دایرهی س ه نیز مثلث هر خارج در اس ت. مثلث داخلی محاطی دایرهی دایره این میشویم. آشنا بیشتر دایرهها این با ادامه در میگوییم. مثلث خارجی محاطی دایرههای آنها به باشند. مماس دیگر ضلع دو امتداد داخلی محاطی دایرهی هب مثلث ضلع سه از آنها همرسی نقطهی و همرس ند مثلث هر داخلی زاویههای نیمس ازهای به اگر باشد. ABC مثلث داخلی نیمسازهای همرس ی نقطهی O کنید فرض اس ت. فاصله یک سه بر دایره این کنیم رسم دایرهای مثلث اضالع از O فاصلهی مساوی ش عاعی به و O مرکز همهی به که دایره این به و است محیط دایره یک بر مثلث هر پس میشود. مماس مثلث ضلع میگوییم. مثلث داخلی محاطی دایرهی است مماس مثلث اضالع :هتک به r S رابطهی از r داخلی محاطی دایرهی شعاع دیگر( محیطی چندضلعیهای همهی )مانند P محیط و S مساحت با مثلث هر ندر P میآید. دست 4 آورید. دست به را داخلی محاطی دایرهی شعاع 8 و 6 قائمهی اضالع به قائمالزاویهای مثلث در 4 میکنیم. استفاده r S فرمول از هستند. 0 و 8 6 مثلث ضلع سه اول: راهحل P SABC ( 6 )( 8 ) 4 r S 4 P AB+ AC+ BC P P چهارضلعی ش کل مطابق باش د داخلی محاطی دایرهی مرکز O اگر دوم: حل راه و CH CH 6 r پ س ب ود خواه د r ضل ع ب ه مربع ی AH OH نوشت: میتوان پس. BH BH 8 r BC 0 8 r+ 6 r 0 r 4 r

6 56 لصف :مود هریاد بنابراین میباشد. میانهها تالقی نقطهی همان نیمسازها تالقی نقطهی متساویاالضالع مثلث ندر :هتک شعاع پس نیز میانهها تالقی نقطهی مقابل( شکل در )O مثلث داخلی محاطی دایرهی مرکز مساوی OH یعنی داخلی محاطی دایرهی ضلع طول )a بنابراین AH ارتفاع AH a r OH AH r ( a) a 6 متساویاالضالع( مثلث است کدام برابر 7 محیط به متساویاالضالعی مثلث داخلی محاطی دایرهی تستتستشعاع )4 ) ) ) نوشت: میتوان بنابراین بود. خواهد آن محیط a آنگاه باشد متساویاالضالع مثلث ضلع a پاگر :خسا برابر متساویاالضالع مثلث داخلی محاطی دایرهی شعاع میدانیم طرفی از درست )( گزینهی بنابراین خارجی محاطی دایرههای a 7 a a, h a ( ) بنابراین ارتفاع و است همرس آن مجاور غیر خارجی زاویههای نیمساز دو با داخلی زاویهی هر نیمساز که میدانیم هب اگر پس میباشد. فاصله یک به مثلث دیگر ضلع دو امتداد و ضلع یک از آنها همرسی نقطهی ABC مثلث از C و B خارجی زاویههای نیمساز دو و A زاویهی نیمساز همرسی نقطهی O مرکز و BC ضلع بر دایره این کنیم رسم دایرهای مثلث اضالع از نقطه این فاصلهی مس اوی ش عاعی با و میگوییم. مثلث خارجی محاطی دایرهی دایره این به میشود. مماس مثلث دیگر ضلع دو امتداد r h ( ) :هتک تسا دایرهای شعاع r a میدهیم. نمایش r c و r b r a نمادهای با را آنها شعاع و است خارجی محاطی دایرهی سه دارای مثلث هر ن r c و است مماس دیگر ضلع دو امتداد و AC ضلع بر که است دایرهای شعاع r b است مماس دیگر ضلع دو امتداد و BC ضلع بر که مماس دیگر ضلع دو امتداد و AB ضلع بر که است دایرهای شعاع کی به آنها امتداد یا مثلث اضالع از که دارد وجود نقطه چهار مثلث صفحهی در پس میباشد. محاطی دایرهی چهار دارای مثلث نهر :هجیت هستند. محاطی دایرههای مراکز نقطه چهار این هستند. فاصله

7 57 کنید: ثابت باشند ABC مثلث خارجی محاطی دایرههای شعاع r c و r b r a و محیط نصف P مساحت S اگر 5 ra S, r S S b, rc P a P b P c نمایش r a نماد با را دایره این شعاع باشد. ضلعBC بر مماس خارجی محاطی دایرهی مرکز O میکنیم :لحهارفرض شکل به توجه با میکنیم. وصل ABC مثلث رئوس به O از میدهیم. SABC SAOB + SAOC SBOC S ra AB+ ra AC ra BC S ra ( AB+ AC BC) S ra ( AB+ AC+ BC BC) P a S ra ( P a) S r S a( P a) ra P a هستند. اثبات قابل بعدی رابطهی دو ترتیب همین به باشید. داشته خاطر به نکته عنوان به را مسأله این نتیجهی مثلث ارتفاع برابر متساویاالضالع مثلث خارجی محاطی دایرهی شعاع کنید ثابت 6 O آنگاه باشد ABC متساویاالضالع مثلث خارجی محاطی دایرهی مرکز O حلهاراگر : مثلث در A داخلی نیمساز و C و B خارجی زوایای نیمسازهای تالقی محل OHC و AHC مثلثهای در بنابراین میباشد. نیز ارتفاع A نیمساز متساویاالضالع Hˆ Hˆ 900 p#ƒp ÁHq]H Cˆ Cˆ 0 ( ) 60 ACH OCH OH AH ra h oëi¹t CH CH مماسند. هم بر ضلع هر وسط نقطهی در داخلی محاطی دایرهی با خارجی محاطی دایرههای متساویاالضالع مثلث ندر :هتک محاطی دایرههای توسط اضالع روی شده جدا پارهخطهای طول محاسبهی دارند. کاربرد مختلف آزمونهای و تستها در که میکنیم حل را مهم مسألهی دو اینجا در مماس مثلث اضالع بر E و N M نقاط در ABC مثلث داخلی محاطی دایرهی اگر 7 مثلث محیط نصف P آنها در که AM P a و CN P c BE P b کنید ثابت باشد ABC اینصورت در AM AN x میکنیم فرض مساویند. دایره بر نقطه یک از شده رسم مماسهای :لحهارمیدانیم BC BE+ CE a c x + b x x b+ c a x a + b+ c a x P a x P a بنابراین CN CE b x و BM BE c x هستند. اثبات قابل دیگر رابطهی دو ترتیب همین به

8 58 لصف :مود هریاد اضالع امتداد بر و M نقطهی در BC ضلع بر ABC مثلث خارجی محاطی دایرهی اگر 8 8 محیط نصف P آن در که AE P کنید ثابت آنگاه باشد مماس F و E نقاط در ترتیب به AC و AB مثلث بنابراین مساویند. دایره بر نقطه یک از شده رسم مماسهای :لحهارمیدانیم BM BE ABCW±X #ˆÃd AB+ AC+ BC P AB+ AC+ BM + MC P ( AB+ BE) + ( AC+ CF) MC CF AE AF P AE+ AF P AE P AE تماس نقطهی N و ABC ث مثل داخلی محاطی رهی دای تماس نقطهی M ل مقاب کل ش تستتستدر آنگاه BC 8 و AC 7 AB6 اگر BC ضلع با مثلث خارجی محاطی دایرهی است کدام برابر MN اندازهی ) ) )4 ) BE BE BN AE AB AE P BN P c MN BN BM MN ( P c) ( P b) b c MN AC AB 7 6 :خسا بنابراین. AE P و BM P b کردیم ثابت باال مسائل پدر درست )( گزینهی بنابراین را وضع کدام ABC مثلث محیط و مساحت F و E ثابت نقطهی دو بین دایره روی بر D تماس نقطهی تغییر با مقابل شکل تستتستدر سراسری( )کنکور دارند متغیر مساحت متغیر محیط ( ثابت مساحت متغیر محیط ( ثابت مساحت ثابت محیط ( متغیر مساحت ثابت محیط 4( :خسا محیط پس هستند ثابت AF و AE مقادیر میشود. AE + AF همان مثلث محیط پس AE AF P که دیدیم قبل مسائل پدر دست به r S a رابطهی از خارجی محاطی دایرهی شعاع زیرا بود. خواهد متغیر مس احت ولی میباش د. ثابت ABC مثلث P a )4( گزینهی بنابراین میباش د. متغیر S پس میکند تغییر D نقطهی تغییر با a ضلع و هس تند ثابت P و r a رابطه این در میآید. درست

9 59 چندضلعیهای محاطی در چندضلعیهای محیطی با دایرهی محاطی س ر و کار داش تیم که داخل چندضلعی بر اضالع آن مماس میشد. در چندضلعیهای محاطی که اکنون با آنها آشنا میشویم با دایرهی محیطی سر و کار داریم. چندضلعی محاطی: یک چندضلعی محاطی اس ت هر گاه همهی رأسهای آن بر روی یک دایره باشند. به دای رهای ک ه از رأسهای چندضلع ی محاطی میگذرد دای رهی محیطی چندضلعی میگوییم. چهارضلعی محاطی ABCD را مطابق شکل در نظر بگیرید. در این چندضلعی محاطی مرکز دایرهی محیطی از تمام رئوس آن به یک فاصله است بنابراین مرکز این دایره روی عمودمنصفهای اضالع این چندضلعی قرار دارد. در واقع میتوان نوشت: به همین ترتیب O روی عمودمنصف بقیهی اضالع نیز قرار دارد. OA OB AB روی عمودمنصف O :هتک نیک چندضلعی محاطی است اگر و تنها اگر عمود منصفهای اضالع آن همرس باشند. محل همرسی عمودمنصفها همان مرکز دایرهی محیطی :لاثم - در مثلث عمودمنصفهای اضالع همرسند پس مثلث همواره محاطی است و مرکز دایرهی محیطی آن نقطهی تالقی عمودمنصفهای اضالعش - مستطیل یک چندضلعی محاطی است زیرا عمودمنصفهای اضالع آن همرسند. :هتک نهر چندضلعی منتظم محاطی پیش از این دیدیم که هر چند ضلعی منتظم محیطی نیز در چندضلعی منتظم مرکز دایرههای محیطی و محاطی بر هم منطبق چهارضلعیهای محاطی برخالف مثلثها چهارضلعیها همواره محاطی نیس تند مثال متوازیاالضالع غیرمس تطیل محاطی نیس ت )چرا عمودمنصفهای اضالع را رس م کنید(. برای محاطی بودن چهارضلعیها میتوان ش رط دیگری نیز جز نکتهی کلی همرس ی عمودمنصفهای اضالع بیان کرد که در قضیههای بعد با آن آشنا میشویم. قضیه در هر چهارضلعی محاطی زوایای مقابل مکمل یکدیگرند. :تابثا فرض میکنیم چهارضلعی ABCD محاطی باشد باید ثابت کنیم ˆC 800 +ˆA و ˆD ˆB برای اثبات دایرهی محیطی این چهارضلعی را رسم میکنیم. مطابق شکل میتوان نوشت: ŠId # Á¾Ä»Hp Aˆ BCD BCD BAD + Aˆ Cˆ ŠId # Á¾Ä»Hp Cˆ BAD در هر چهارضلعی مجموع زوایای داخلی 60 درجه است پس با توجه به اینکه 800 ˆC +ˆA نتیجه میگیریم 80ˆD +ˆB نیز برقرار

10 لصف :مود هریاد قضیه 60 4 محاطی چهارضلعی آن باشند مکمل روبهرو زاویههای چهارضلعی یک در 4 اگر یعنی باشند مکمل هم به روبهرو زاویههای ABCD چهارضلعی در میکنیم :تابثافرض محاطی ABCD کنیم ثابت باید. Bˆ+ Dˆ 800 و Aˆ+ Cˆ 800 D نقطهی از دایره این میکنیم ثابت میگذرد دایره یک حتما C و B A نقاط از میدانیم میکنیم. استفاده خلف برهان از کار این برای میکند. عبور هم آنرا امتداد یا CD خط پاره دایره پس نکند عبور D نقطهی از دایره این که میکنیم فرض Bˆ+ Dˆ 800 است محاطی ABCD چهارضلعی چون میکند. قطع D مانند نقطهای در ADD مثلث خارجی زاویهی Dˆ چون حال. Dˆ Dˆ بنابرای ن Bˆ 0 + Dˆ 80 طرف ی از. 9 نمیگذرد D رأس از دایره که ما فرض نتیجه در است تناقض در ˆD ˆD تساوی با نامساوی این که <ˆD ˆD پس است برقرار قضیه حکم و بوده نادرست آورید. بهدست را β و α مقادیر آنگاه باشد محاطی ABCD چهارضلعی اگر 9 نوشت: میتوان بنابراین مکملند. مقابل زوایای محاطی چهارضلعی :لحهاردر Aˆ+ Cˆ 80 α α 00 Bˆ+ Dˆ 80 β β 80 :خسا است درجه چند چهارضلعی این زاویهی بزرگترین هستند. 750 و 00 داخلی زاویهی دو محاطی چهارضلعی یک تستتستدر 0 )4 08 ) 05 ) 0 ) ود این پس باشند. هم روبهروی زاویهی دو نمیتوانند 750 و 00 زاویههای بنابراین مکملند مقابل زوایای محاطی چهارضلعی پدر نوشت: میتوان بنابراین میباشند. چهارضلعی این در مجاور زاویهی دو زاویه درست )( گزینهی بنابراین درجه 05 ضلعی چهار این زاویهی بزرگترین بنابراین 00¾M MI #Á¾Ä»Hp MI #Á¾Ä» Hp خارجی محاطی دایرهی مرکز O و داخلی محاطی دایرهی مرکز O اگر ABC مثلث در محاطی OBO C چهارضلعی کنید ثابت آنگاه باشد A رأس نظیر در زاویهها همان خارجی نیمساز دو برخورد محل O و C و B داخلی نیمساز دو برخورد محل O شکل حلهارمطابق : در OBO ˆ + OCO ˆ 800 پس OCO ˆ OBO ˆ 900 بنابراین عمودند هم بر رأس هر خارجی و داخلی نیمساز مثلث هر محاطی OBO C پس مکملند روبهرو زاویهی دو OBO ˆ C چهارضلعی در نتیجه

11 6 ثابت کنید از برخورد نیمسازهای زوایای داخلی یک ذوزنقه چهارضلعی محاطی ایجاد میشود. :لحهاردر شکل مقابل فرض کنید از برخورد نیمسازهای داخلی ذوزنقهی ABCD چهارضلعی MNEF ایجاد شده باشد. از قضیهی خطوط موازی و مورب AB DC 0 Á¾Ã AFD x+β+ Fˆ 80 A + D 80 x + β 80 x +β 90 F 900 ˆ ˆ : ˆ Jn¼ AD ÁpH¼ # ¼ i AB DC Á¾Ã CBN y Nˆ 0 Bˆ + : Cˆ +α+ y + α y +α Nˆ 900 Jn¼ BC ÁpH¼ # ¼ i استفاده میکنیم: گزینه ی در چهارضلعی MNEF دو زاویهی ˆN و ˆF مکملند. بنابراین MNEF محاطی در هر چهارضلعی دلخواه اگر از برخورد نیمسازهای زاویههای داخلی یک چهارضلعی دیگر ایجاد شود حاصل یک چهار ضلعی محاطی اثبات این مطلب را در فصل اول بیان کردهایم. تستتستدر شکل مقابل اندازهی α بر حسب درجه برابر کدام است 60 ) 0 ) 40 )4 400 ) :خسا پمانند شکل زیر وتر مشترک BC در این دو دایرهی متقاطع را رسم میکنیم. در این صورت دو چهارضلعی محاطی ABCD و MNCB به دست میآید. در چهارضلعی محاطی زوایای مقابل مکملند پس ABCD: Aˆ + Cˆ 80 α+ Cˆ α+ Cˆ + Cˆ 0 MNCB M C C 60 5 α 80 α 6 : ˆ + ˆ 80 α+ ˆ بنابراین گزینهی )( درست تستتستدر شکل روبهرو اندازهی x برابر کدام است 00 ) 50 ) 00 )4 50 ) 80 5 ˆE برقرار اس ت. چهارضلعی x رابطهی AEF و در مثلث B ˆ 80 4 :خسا پ ب ا توجه به ش کل در مثلث BDF داری م x BCEF محاطی میباشد پس دو زاویهی روبهروی آن یعنی Ê و ˆB مکملند. بنابراین Bˆ+ Eˆ x+ 80 5x 80 9x 80 x 0 بنابراین گزینهی )( درست در حل بعضی از مسائل پس از تشخیص اینکه یک چهارضلعی محاطی است الزم است دایرهی محیطی آن را رسم کنیم و نتایج بیشتری به دست آوریم. در مسائل بعد چند نمونه از کاربرد رسم دایرهی محیطی را میبینید.

12 6 لصف :مود هریاد قائمالزاویهی D رأس در ADC مثلث و متساویاالضالع ABC مثلث شکل به توجه با. AMD ˆ 45 0 کنید ثابت باشد AB ضلع وسط M اگر متساویالساقین میانهی متساویاالضالع مثلث در میکنیم. وصل M به C از روبهرو شکل :لحهارمانند قائمه AMC زاویهی پس میباشد. هم ارتفاع CM محاطی ADCM چهارضلع ی بنابرای ن ˆM + Dˆ 800 ADCM چهارضلع ی در پ س آن محیطی دایرهی رسم با میباشد ŠId Cˆ AD Mˆ Cˆ ŠId Mˆ AD نتیجه در Ĉ 45 0 پس است متساویالساقین قائمالزاویهی ACD مثلث میدانیم. Mˆ 450 روی آن دیگر رأس دو و BC وتر بر آن ضلع یک که کردهایم محاط مربعی ( ˆA 90 0 ) ABC قائمالزاویهی مثلث در 4 A زاویهی نیمساز میکند وصل مربع قطرهای تقاطع محل به را A رأس که خطی کنید ثابت دارند. قرار مثلث قائمهی اضالع O و باشد شده محاط شکل مطابق ABC مثلث در MNEF مربع میکنیم فرض :لحهار نتیجه در Ô 0 90 پس عمودند هم بر قطرها مربع در باشد. مربع این قطرهای تالقی محل میکنیم رسم آنرا محیطی دایرهی محاطی AMOF چهارضلعی بنابراین +ˆA ˆO 800 در مساویند. پس هستند OM کمان روبهروی محاطی ˆF و  زاویهی دو صورت این در OA پس Aˆ Aˆ 450 بنابراین ˆF 45 0 نتیجه در است نیمساز قطر مربع در ضمن A زاویهی نیمساز نیمساز AA ارتفاع کنید ثابت کردهاند قطع O نقطهی در را یکدیگر ABC مثلث از CC و BB AA ارتفاعهای نیست.( قائمالزاویه ABC است.)مثلث B A C زاویهی چهارضلعی و Aˆ + Cˆ 80 زیرا است محاطی A BC O :لحهارچهارضلعی دو هر محیطی دایرههای. ˆA 0 + Bˆ 80 زیرا است محاطی نیز A CB O صورت این در میکنیم. رسم را محاطی چهارضلعی OC A ˆ B ˆ (), A ˆ C ˆ OB () مشترک A حادهی زاویهی در ABB و ACC قائمالزاویهی مثلث دو طرفی از. Aˆ Aˆ میگیریم نتیجه )( و )( روابط از بنابراین. ˆB Ĉ پس هستند میباشند. ارتفاعیه مثلث نیمسازهای مثلث ارتفاعهای قائمالزاویه غیر مثلث هر ندر :هجیت مثلث محیطی دایرهی بنابراین فاصله یک به مثلث رأس سه از آنها همرسی نقطهی و همرسند مثلث هر اضالع عمودمنصف سه که کردیم ثابت قبال هس هر از شود رسم OA شعاع و O مرکز به که دایرهای آنگاه باشد ABC مثلث اضالع عمودمنصف س ه همرس ی نقطهی O اگر دایرهای به و است دایره یک در شدن محاط قابل مثلث علت همین به میگیرد. قرار آن داخل مثلث و میگذرد C و B A نقطهی دارد. محیطی دایرهی یک فقط مثلث هر مسلما میگوییم. آن محیطی دایرهی میگذرد رأس سه از که

13 6 دایرهی مرکز لذا باشد می وتر وسط اضالع عمودمنصف همرسی محل قائمالزاویه مثلث در چون ن :هتک کنید( نگاه شکل )به میباشد. وتر نصف برابر آن شعاع و است وتر وسط قائمالزاویه مثلث محیطی میکنند صدق فیثاغورس رابطهی در اضالع این چون باشد و 6 مثلثی اضالع طول :لاثماگر R یعنی وتر نصف برابر آن محیطی دایرهی شعاع لذا و است قائمالزاویه مثلث ( ( ( ( + ( 6) بنابراین میباشد میانهها تالقی نقطهی همان عمودمنصفها تالقی نقطهی متساویاالضالع مثلث ندر :هتک میانههای میدانیم میانهها تالقی نقطهی مقابل( شکل در )O مثلث محیطی دایرهی مرکز مساوی OA یعنی محیطی دایرهی شعاع پس میکنند. قطع به نسبت به را یکدیگر مثلث متساویاالضالع( مثلث ضلع طول )a نوشت: میتوان حال AH ارتفاع AH a R OA AH R ( a) a است کدام آن محیطی دایرهی شعاع آنگاه باشد 4 متساویاالضالعی مثلث مساحت تستستستاگر )4 ) باشد مثلث ضلع a اگر آن ارتفاع S a S 4 4 a 4 a 6 a 4 4 ) 4 ) محیطی دایرهی شعاع متساویاالضالع مثلث پدر :خسا h a () 4 h R h ( ) 4 4 درست )( گزینهی بنابراین است کدام آن خارجی محاطی و محیطی دایرهی دو خطالمرکزین طول ضلع به متساویاالضالعی مثلث تستستستدر 5 )4 ) ) ) پ :خسا O و محیطی دایرهی مرکز O اگر اس ت. منطبق هم بر داخلی محاطی دایرهی و محیطی دایرهی مرکز متس اویاالضالع مثلث در دایرههای شعاع مجموع برابر OO خطالمرکزین طول است متساویاالضالع مثلث چون آنگاه باشد خارجی محاطی دایرهی مرکز OH r داخلی محاطی دایرهی شعاع و OH ra خارجی محاطی دایرهی شعاع خارجی و داخلی محاطی h a r OH h r ( ) r h a a h r a ( ) OO r+ r a + درست )( گزینهی بنابراین

14 64 هریاد :مود لصف ثابت کنید در هر مثلث ABC نیمساز زاویهی A زاویهی بین قطر دایرهی محیطی و ارتفاع نظیر رأس A از مثلث را نیز 5 نصف میکند. :لحهارمطابق شکل اگر AE قطر دایرهی محیطی مثلث AH ABC ارتفاع وارد بر ضلع BC و AD نیمساز زاویهی A باشد میخواهیم ثابت کنیم AD نیمساز زاویهی. Aˆ Aˆ بین AH و AE است یعنی برای اثبات از C به E وصل میکنیم در این صورت زاویهی C محاطی روبهرو به قطر است پس Ĉ حال در دو مثلث قائمالزاویهی ABH و ACE Cˆ Hˆ 90 AC Aˆ Aˆ () ŠId #»j#oà Bˆ Eˆ 4 از طرفی چون AD نیمساز است () Aˆ AD Aˆ Aˆ نیمساز Aˆ + + Aˆ Aˆ 4 () 6 ثابت کنید در هر مثلث نیمساز هر زاویه و عمودمنصف ضلع مقابل آن زاویه در نقطهای روی دایرهی محیطی مثلث یکدیگر را قطع میکنند. :لحهاردر مثلث ABC نیمساز زاویهی A را رسم میکنیم تا دایرهی محیطی مثلث BM یعنی M وسط کمان MC پس Aˆ Aˆ را در نقطهی M قطع کند. چون BC از طرفی عمودمنصف ضلع BC از وسط کمان BC عبور میکند پس نیمساز زاویهی A و عمودمنصف ضلع BC هر دو از وسط کمان BC عبور میکنند. :هتک ندر هر مثلث قرینهی محل همرسی ارتفاعها نسبت به هر ضلع روی دایرهی محیطی مثلث قرار میگیرد. :تابثامثلث ABC را در نظر بگیرید که H محل برخورد ارتفاعهای آن محل برخورد امتداد AA و دایرهی محیطی را H مینامیم. اگر ثابت کنیم H HA A آنگاه ثابت کردهایم H قرینهی H نسبت به BC پس ثابت کردهایم قرینهی مرکز ارتفاعی نسبت به ضلع مثلث روی دایرهی محیطی آن واقع برای اثبات ˆB Bˆ H HA A ثابت میکنیم HC Bˆ زاویهی محاطی  BB C W±X :Bˆ + Cˆ 0 90 Bˆ Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ Bˆ AA C W±X : Aˆ + Cˆ 0 90 B زاویهی رأس همان نیمس از BA ارتفاع HBH پس در مثل ث ˆB Bˆ چ ون است بنابراین مثلث متساویالساقین است و نتیجه میگیریم H. HA A

15 65 مثلث محیطی دایرهی شعاع محاسبهی دایرهی قطر در سوم ضلع بر وارد ارتفاع حاصلضرب با است برابر مثلث ضلع دو حاصلضرب مثلث هر در کنید ثابت 7 اضالع طول c و b a(. R abc آنگاه باشد S مساحت با ABC مثلث محیطی دایرهی شعاع R اگر بگیرید نتیجه سپس مثلث. محیطی 4 S میباشند.( مثلث زا و میکنیم رسم را AD قطر مقابل شکل مانند ABC مثلث محیطی دایرهی :لحهاردر. 90Ĉ پس است AD قطر به روبهرو C زاویهی صورت این در میکنیم وصل C به D ABH و ADC مثلثهای در Hˆ Cˆ 90 ( p#p ) ABH ACD AD AC AC AB AC AD AH () Dˆ Bˆ AB AH میگیریم: نتیجه )( از AH S رابطهی به توجه با حال BC S AD R AB AC AD R AB AC BC R abc BC 4S 4S است: برقرار زیر رابطهی R محیطی دایرهي شعاع با ABC مثلث در سینوسها( 5 )قضیهی 5 a b c R sin A sinb sin C میگیریم: نتیجه bc sin A دهیم قرار S جای به R abc رابطهی در :تابثااگر 4 S R abc a a R bc sin A sin A sin A 4 قضیه c R, b R sinc sin B گرفت: نتیجه میتوان ترتیب همین به a R a R R a sin 600 بنابراین: A 60 0 داریم متساویاالضالع مثلث :لاثمدر بودیم. کرده بیان نیز دیگری نکتهی در این از پیش را نتیجه این

16 66 لصف :مود هریاد تشریحی تمرینهای لوزی باشد محیط دایره بر که متوازیاالضالعی هر کنید 5 ثابت 5 مربع باشد محیط دایره بر که مستطیلی کنید 5 ثابت 454 میباشد. آن ضلع یک اندازهی مساوی منتظم ششضلعی یک محیطی دایرهی شعاع کنید 5 ثابت 555 کنید. تعیین را چهارم ضلع اندازهی سانتیمتر 6 و 7 ترتیب به محیطی چهارضلعی یک از مجاور ضلع سه 5 اندازههای 656 عمودند. هم بر چهارضلعی قطر دو آنگاه باشند یکدیگر مساوی محیطی چهارضلعی یک مجاور ضلع دو اگر کنید 5 ثابت 757 کنید ثابت میکنیم. وصل C و B A نقاط به BC کمان روی D نقطهی از بگیرید. نظر در را آن محیطی دایرهی و ABC متساویاالضالع 5 مثلث 858. DA DB+ DC است نادرست کدام و درست زیر گزارههای از 5 کدامیک 959 محیطی و محاطی چهارضلعی مربع الف( محاطی چهارضلعی یک لوزی ب( محاطی چهارضلعی مستطیل ج( محیطی نه و محاطی نه متوازیاالضالع د( مستطیل ضلعی چهار آن باشند مساوی محاطی چهارضلعی یک از مجاور زاویهی دو اگر ه( لوزی ضلعی چهار آن باشند مساوی محیطی چهارضلعی یک از مجاور ضلع دو اگر و(. Aˆ Cˆ کنید ثابت باشد محاطی ضلعی چهار ABCD 6 اگر 060 چهارضلعی کنید ثابت میکنیم رسم AC و AB اضالع بر را PE و PD عمودهای ABC مثلث از AH ارتفاع روی بر P دلخواه نقطهی 6 از 6 محاطی ADPE نمیتواند ABMC چهارضلعی دهید نشان کردهاند. قطع M نقطهی در را همدیگر ˆB و Ĉ زوایای خارجی نیمسازهای ABC مثلث 6 در 6 باشد. محاطی محاطی CDPN چهارضلعی کنید ثابت باشد AB کمان وسط M نقطهی 6 اگر 6 میکنند. تالقی محیطی دایرهی روی نقطهای در آن مقابل رأس بیرونی زاویهی نیمساز با زاویه هر نیمسازهای محاطی چهارضلعی هر در کنید 6 ثابت 464 دایرهی که میکنیم رسم چنان قاطع دو O و O مرکزهای به دایره دو تقاطع نقاط B و A نقاط از مقابل شکل 6 مانند 565 و DC کنید ثابت باشند. کرده قطع D و C نقاط در را O مرکز به دایرهی و C و D نقاط در را O مرکز به موازیند. DC

17 67 عمودند. هم بر میکنند وصل یکدیگر به را مقابل کمانهای اوساط که خطوطی محاطی چهارضلعی هر در کنید 6 ثابت 666 E و D نقاط در ترتیب به را AC و AB اضالع تا میکنیم رسم AH ارتفاع قطر به دایرهای ) Â 90 0 ) ABC قائمالزاویهي مثلث 6 در 767 محاطی BCED چهارضلعی کنید ثابت کند. قطع میکنیم خارج CA و AB بر ترتیب به عمود دو C و B از و کرده وصل O مرکز به دایرهی از C و B نقطهي دو به را A اختیاری 6 نقطهي 868 کنید: ثابت کند قطع A نقطهي در را OA امتدادخط تا کنیم رسم BC بر عمودی P از اگر کنند. قطع P نقطهي در را یکدیگر تا OA OA محاطی ABCD کنید ثابت مماساند. هم بر D و C B A نقاط در دایره چهار زیر شکل 6 در 969 شعاع نسبت و آنها داخلی محاطی دایرههای شعاع نسبت آنها محیطی دایرههای شعاع نسبت باشند متشابه مثلث دو اگر کنید 7 ثابت 070 برابر تشابه نسبت با متناظر خارجی محاطی دایرههاي کنیم رسم BC امتداد بر را CE و BD عمودهای C و B از اگر کردهایم. رسم را CC و BB AA ارتفاع سه ABC مثلث 7 در 7 کنید: ثابت DE AB + AC محیطی دایرهي بر مماس سوم رأس از که خطی با میکند وصل یکدیگر به را رأس دو ارتفاعات پای که خطی مثلث هر در کنید 7 ثابت 7 موازی میشود رسم مثلث مثلثهای داخلی محاطی دوایر شعاع ترتیب به r و r r اگر کردهایم. رسم را AH ارتفاع ( Â 90 0 ) ABC قائمالزاویهي مثلث 7 در 7 r r+ r کنید: ثابت باشند ABC و ACH ABH ب( r + r + r AH الف( آورید. دست به را محیطی دایرهی شعاع و داخلی محاطی دایرهی شعاع و قائمه اضالع با قائمالزاویه مثلث 7 در 474 آورید. دست به آنرا محیطی دایرهی شعاع و داخلی محاطی دایرهی شعاع میباشد و 5 مثلثی اضالع 7 طول 575 آورید. دست به را محیطی دایرهی شعاع و خارجی محاطی دایرهی شعاع داخلی محاطی دایرهی شعاع ضلع به متساویاالضالع مثلث 7 در 676. DB DC کنید ثابت آنگاه باشد ABC مثلث محیطی دایرهی با AO برخورد نقطهی D و ABC مثلث داخلی محاطی دایرهی مرکز O 7 اگر 777 آورید. دست به را CM اندازهی آنگاه باشد AB و برابر ABC مثلث محیط 7 اگر 878